Kursevi Elementarna matematika i Napredni koncepti elementarne matematike zamišljeni su kao kursevi koji pre svega treba da obnove matematičke koncepte iz srednje škole i da pomognu brucošima da lakše prate kurseve sa prve godine. Kurs Napredni koncepti elementarne matematike predviđen je za ambicioznije studente koji su sigurni da dobro vladaju srednjoškolskom matematikom, i rado bi videli neke dodatne zanimljive sadržaje na tom nivou.
-
Kurs Algebra 2 je prirodni nastavak kursa Algebra 1. Izučavanje osnovnih koncepata iz Algebri 1 (grupe, prsteni i polja) dalje se proširuje, i u izvesnoj meri i produbljuje. Verujemo da bi ovaj kurs bio koristan studentima koji su zainteresovani za algebarsku statistiku koja je trenutno zanimljivo i plodno tle za istraživanje i primene.
Da li je moguće podeliti lenjirom i šestarom ugao na tri jednaka dela? Na pet jednakih delova? Da li je moguće konstruisati pravilan sedmougao lenjirom i šestarom? Pravilan devetougao? Pravilan sedamnaestougao? Kako rešavati jednačine trećeg stepena? Jednačine četvrtog stepena? Da li postoji formula za rešavanje jednačine petog stepena koja ne uključuje nikakve složenije funkcije osim sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i nalaženja korena? Kako naći najveći zajednički delilac dva polinoma sa celobrojnim koeficijentima, ali sa više neodređenih (tema iz srednje škole: sređivanje racionalnih algebarskih izraza). Izučavamo na fakultetu detaljno krive drugog reda. Šta je sa krivama trećeg reda? Ako vas zanimaju odgovori na ova pitanja, ovo je kurs za vas.
Teorija brojeva je jedna od centralnih matematičkih disciplina. Istorijski, veliki deo algebre je nastao iz primera i problema koji su došli iz teorije brojeva i potrebe da se razumeju aritmetička pitanja. Ovaj izborni kurs se prirodno međusobno nadopunjuje sa kursevima Algebra 2 i Algebra 3. Na kursu se izlažu odabrane teme iz algebarske teorije brojeva, analitičke teorije brojeva, modularnih formi i/ili eliptičkih krivih. Nije potrebno nikakvo posebno predznanje iz algebre ili analize, osim kurseva iz 1. i 2. godine.
Računarska algebra je kurs koji povezuje apstraktnu algebru sa algoritamskim metodama, sa fokusom na konkretna izračunavanja u algebarskim strukturama kao što su prsteni polinoma, ideali i moduli. Ovaj kurs izučava koncept Grebnerovih baza, sa primenama u izračunavanjima u prstenima polinoma (računanje Grebnerovih baza, rešavanje sistema polinomskih jednačina, testiranje pripadnosti idealu, faktorizacija polinoma, itd.). Kurs pruža dobru osnovu studentima koji su zainteresovani za oblasti poput algebarske geometrije i kriptografije.
Kurs Algebra 2 je prirodni nastavak kursa Algebra 1. Izučavanje osnovnih koncepata iz Algebri 1 (grupe, prsteni i polja) dalje se proširuje, i u izvesnoj meri i produbljuje. Verujemo da bi ovaj kurs bio koristan studentima koji su zainteresovani za algebarsku statistiku koja je trenutno zanimljivo i plodno tle za istraživanje i primene.
Ovaj kurs je prilagođen studentima I smera i za njegovo praćenje je dovoljan kurs Algebre sa tog smera. Razmatra se konstrukcija konačnih polja i njihovih osobina, a zatim se izučava problem faktorizacije u prstenu polinoma sa jednom neodređenom nad konačnim poljem (Berlekampov algoritam). Izučavaju se i polinomi sa više neodređenih i ovde imamo i algorithm za nalaženje najvećeg zajedničkog delioca polinoma sa više neodređenih nad prstenom celih brojeva. Za slučaj da su nam koeficijenti u polju, uvodimo pojam Grebnerove baze i pokazujemo algoritam za nalaženje te baze i kako to možemo da primenjujemo. Kurs daje dobru osnovu za sve one koji se zanimaju za probleme primene algebre uz pomoć računara u simboličkom računanju i kriptografiji.
Kurs Istorija i filozofija matematike istražuje razvoj matematičkih ideja kroz vekove, od antičke aritmetike i geometrije do savremenih matematičkih teorija. Poseban akcenat stavlja se na filozofska pitanja poput prirode matematičke istine, uloge dokaza i odnosa između matematike i stvarnosti. Kroz analizu ključnih momenata u istoriji matematike, studenti stiču dublje razumevanje kako se matematičko mišljenje oblikovalo u različitim kulturnim i intelektualnim kontekstima. Kurs podstiče kritičko razmišljanje o matematici ne samo kao tehničkoj disciplini, već i kao ljudskoj delatnosti sa bogatim filozofskim i istorijskim temeljem.
-
U Linearnoj algebri izučavamo vektorske prostore. Ali, šta ako koeficijenti ("skalari") kojima množimo elemente neke Abelove grupe ("vektore") ne pripadaju nekom polju? Tako dolazimo do pojma modula. To je jedan od centralnih pojmova savremene algebre. Posebno su zanimljivi moduli nad prstenima u kojima je svaki ideal glavni. Za konačno generisane module nad takvim prstenima moguće je dati klasifikaciju. Ona ima zanimljivu primenu na Žordanovu formu matrica.
Druge teme koje se mogu obraditi u ovom kursu uključuju:
1. Uvod u nekomutativnu algebru i, s tim u vezi, osnove teorije reprezentacije konačnih grupa sa primenama.
2. Osnovni pojmovi multilinearne algebre.
3. Jezik teorije kategorija u algebri.
4. Osnovni pojmovi homološke algebre.
Kurs Odabrana poglavlja matematičke logike obrađuje neke od dubljih tema iz neke od četiri glavne grane matematičke logike: teorije skupova, teorije modela, teorije dokaza i teorije rekurzije, s naglaskom na teoriju skupova i teoriju modela. Za studente L smera dovoljno je predznanje osnovnih logičkih koncepata iz kursa Uvod u matematičku logiku. Za studente M smera dodatno je poželjno i poznavanje osnovnih koncepata algebre i opšte topologije.
Komutativna algebra je osnova savremene algebre koja proučava strukturu i osobine komutativnih prstenova i modula, sa širokim primenama u algebarskoj geometriji, teoriji brojeva i drugim oblastima savremene matematike. Ovaj kurs pruža neophodan i dovoljno širok uvod u oblast komutativne algebre, i posebno je relevantan za studente zainteresovane za algebarsku geometriju, algebarsku teoriju brojeva i homološku algebru.
Računarska algebra je kurs koji povezuje apstraktnu algebru sa algoritamskim metodama, sa fokusom na konkretna izračunavanja u algebarskim strukturama kao što su prsteni polinoma, ideali i moduli. Ovaj kurs izučava koncept Grebnerovih baza, sa primenama u izračunavanjima u prstenima polinoma (računanje Grebnerovih baza, rešavanje sistema polinomskih jednačina, testiranje pripadnosti idealu, faktorizacija polinoma, itd.). Kurs pruža dobru osnovu studentima koji su zainteresovani za oblasti poput algebarske geometrije i kriptografije.
Kurs Zasnivanje matematike proučava osnovne pojmove i principe na kojima počiva savremena matematika. Obrađuju se različiti aspekti logičkog i aksiomatskog utemeljenja brojevnih sistema: od Peanovih aksioma i formalne aritmetike prirodnih brojeva, preko konstrukcije celih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva. Posebna pažnja posvećena je nestandardnim modelima aritmetike i Gedelovim teoremama, koje ukazuju na unutrašnja ograničenja formalnih sistema. Drugi deo kursa posvećen je teoriji skupova, uključujući naivnu i aksiomatsku teoriju, kao i paradokse koji su doveli do preispitivanja matematičkih osnova.
Kroz istorijsku perspektivu, kurs prati razvoj aksiomatskog metoda od Antičke Grčke i Euklidove geometrije, preko problema utemeljenja matematičke analize u 17–19. veku, do krize osnova matematike početkom 20. veka.
Šta se kroz istoriju učilo u školama od matematike? Koliko dece je bilo obuhvaćeno nastavom matematike? Kakva je kultura nastave matematike u različitim podnebljima kroz istoriju? Ako vas zanimaju odgovori na ova pitanja, ovo je kurs za vas. Kurs uključuje obavezan seminarski rad na temu istorije matematičkog obrazovanja u pojedinim zemljama.
-
-
U Linearnoj algebri izučavamo vektorske prostore. Ali, šta ako koeficijenti ("skalari") kojima množimo elemente neke Abelove grupe ("vektore") ne pripadaju nekom polju? Tako dolazimo do pojma modula. To je jedan od centralnih pojmova savremene algebre. Posebno su zanimljivi moduli nad prstenima u kojima je svaki ideal glavni. Za konačno generisane module nad takvim prstenima moguće je dati klasifikaciju. Ona ima zanimljivu primenu na Žordanovu formu matrica.
Druge teme koje se mogu obraditi u ovom kursu uključuju:
1. Uvod u nekomutativnu algebru i, s tim u vezi, osnove teorije reprezentacije konačnih grupa sa primenama.
2. Osnovni pojmovi multilinearne algebre.
3. Jezik teorije kategorija u algebri.
4. Osnovni pojmovi homološke algebre.
Kurs Odabrana poglavlja matematičke logike obrađuje neke od dubljih tema iz neke od četiri glavne grane matematičke logike: teorije skupova, teorije modela, teorije dokaza i teorije rekurzije, s naglaskom na teoriju skupova i teoriju modela. Za studente L smera dovoljno je predznanje osnovnih logičkih koncepata iz kursa Uvod u matematičku logiku. Za studente M smera dodatno je poželjno i poznavanje osnovnih koncepata algebre i opšte topologije.
Na kursu Teorija brojeva 2 za L-smer se obrađuju odabrane teme elementarne teorije brojeva, kao što su odabrana pitanja o prostim brojevima ili Gausov zakon reciprociteta. Nije potrebno nikakvo predznanje iz teorije brojeva.
Na kursu Teorija brojeva 2 za M-smer se obrađuju različite teme iz algebarske i/ili analitičke teorije brojeva koje nisu bile pokrivene na kursu Teorija brojeva 1. Studenti zainteresovani za algebru mogu polagati samo teme iz algebarske teorije brojeva ili eliptičkih krivih, dok studenti zainteresovani za analizu mogu polagati samo izabrane teme iz analitičke teorije brojeva ili spektralne teorije automorfnih formi.
Ovaj kurs je osnova za temeljno razumevanje osnovnih principa teorijskog računanja i granica algoritamskog rešavanja problema. Studenti će se upoznati sa formalnim modelima računanja, kao što su Tjuringove i registar mašine, ali i sa važnim klasama funkcija, uključujući primitivno rekurzivne i rekurzivne funkcije, koje predstavljaju osnovu za razumevanje algoritamski rešivih problema. Kurs razvija apstraktno i formalno mišljenje, neophodno za dalje proučavanje teorijskog računarstva i složenosti algoritama.
Kurs Teorijsko računarstvo bavi se fundamentalnim principima koji definišu granice i mogućnosti računanja. Polaznici će se upoznati sa ključnim modelima računanja kao što su Tjuringove mašine, rekurzivne funkcije, enumeracija, kao i sa pojmovima univerzalnosti, odlučivosti i sl. Poseban akcenat stavljen je na razlikovanje odlučivih, neodlučivih i rekurzivno nabrojivih skupova, kao i na strukturu aritmetičke hijerarhije.
U drugom delu kursa obrađuju se teme iz oblasti teorije složenosti, uključujući klasifikaciju problema i poznati P=NP problem. Pored toga, kurs pokriva formalizaciju programskih sistema, Horovu logiku, formalne specifikacije, ali i savremene primene teorijskih modela u oblastima kao što su genomika, lingvistika, relacione baze podataka i fazi logika. Cilj kursa je da studentima pruži dublje razumevanje teorijskih osnova računarstva i njihovu primenu u različitim domenima.
Ovaj kurs pruža osnovni uvid u jednu od najvažnijih oblasti savremene matematike – algebarsku geometriju, sa fokusom na proučavanje algebarskih krivih i varijeteta. Polaznici će se upoznati sa osnovnim geometrijskim i algebarskim konceptima kao što su racionalne krive, singularne i nesingularne tačke, afini i projektivni varijeteti, itd. Kroz analizu Neterinih prstena, topologije Zariskog, Hilbertovog Nullstellensatz-a itd, studenti će razviti razumevanje odnosa između geometrijskih objekata i njihovih algebarskih opisa. Kurs je namenjen studentima koji žele da naprave prvi korak ka dubljem razumevanju geometrije, teorije brojeva i modernih matematičkih struktura.